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Jun 16, 2023

Kabelmechanismus-Mathematik: Entwerfen gegen die Capstan-Gleichung

Vor ein paar Jahren habe ich mich in kabelbetriebene Mechanismen verliebt und aus diesem Anlass einige meiner ersten mechanischen Tentakel zusammengestellt. Aber erst nachdem ich mit ihnen gespielt hatte, begann ich das zu verstehen

Vor ein paar Jahren habe ich mich in kabelbetriebene Mechanismen verliebt und aus diesem Anlass einige meiner ersten mechanischen Tentakel zusammengestellt. Aber erst nachdem ich mit ihnen gespielt hatte, begann ich die Prinzipien zu verstehen, nach denen sie funktionierten. Heute möchte ich eine der wichtigsten Gleichungen vorstellen, die man bei der Entwicklung von Geräten mit Kabeln im Hinterkopf behalten sollte: die Capstan-Gleichung. Lassen Sie etwas Koffein einwirken und bleiben Sie die nächsten paar Minuten bei mir, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie es funktioniert, wie es sich auf die Gesamtreibung in Ihrem System auswirkt und wie Sie es in besonderen Fällen für sich einsetzen können.

Aber zuerst: Was genau sind kabelbetriebene Mechanismen? Es stellt sich heraus, dass sich dieser Begriff auf eine riesige Klasse von Mechanismen bezieht, weshalb wir unseren Anwendungsbereich nur auf Push-Pull-Kabelbetätigungssysteme beschränken.

Hierbei handelt es sich um Geräte, bei denen Kabel als Aktoren verwendet werden. Indem sie diese Kabel durch einen flexiblen Kanal führen, erfüllen sie eine ähnliche Funktion wie die Sehnen in unserem Körper, die unsere Finger betätigen. Bei der Konstruktion dieser Kabel gehen wir im Allgemeinen davon aus, dass die Kabel flexibel sind und sich bei Zugbelastung nicht dehnen.

Da diese Kabel flexibel sind, können sie nur eine Zugkraft und keinen Druck ausüben. Deshalb werden die Kabel oft paarweise geliefert, um in beide Richtungen zu wirken. Hier öffnen und schließen sie die Kiefer des Chompers.

Hier steuert der Joystick die gelbe Backe unseres Chompers über zwei Kabel, die jeweils unter Spannung gesetzt werden können. Eines der Schlüsselelemente hinter Kabeln ist die Fähigkeit, die Richtung der ausgeübten Kraft umzuleiten, indem das Kabel durch dünne Hüllen oder Leitungen gesteuert wird, wie folgt:

In diesem Setup oben können wir den Chomper immer noch über den Joystick und die mechanischen Steuerkabel fernsteuern, allerdings mit etwas zusätzlicher Reibung. Im Idealfall sind die Leitungen, die das Kabel führen, äußerst flexibel und werden nicht zusammengedrückt, wenn eine Druckkraft auf sie ausgeübt wird. Das hört sich vielleicht wie eine Art magische Komponente an – ist es aber nicht! Es ist eigentlich nur eine lange, dünne Verlängerungsfeder wie diese Teile von DR Templeman. Diese Teile haben ein paar Namen: Zugfeder mit durchgehender Länge, Federführung … aber ich bezeichne sie im Allgemeinen als Federführung, wenn ich in Animatronik-Projekten darauf verweise. Diese Federführung ist äußerst flexibel, aber auch widerstandsfähig gegen Kompression, da sie aus Edelstahl gefertigt ist.

Wenn das obige Beispiel etwas weit hergeholt erscheint, nehmen Sie das Bremssystem Ihres Fahrrads als Beispiel für eine kabelbetätigte Einrichtung. Dabei betätigt Ihre Hand die Bremsen an einem Ende des Fahrrads, wodurch ein durch eine Hülle an Ihrem Fahrrad verlaufendes Kabelstück bewegt wird, das Ihre Bremssättel bewegt und schließlich die Felge Ihrer Radnabe zusammendrückt, um Sie zu verlangsamen. Anstelle einer zweiten Leitung sorgt jedoch eine Zugfeder für die Rückstellkraft zum Öffnen der Bremssättel, wenn wir den Griff loslassen.

Alles in allem glänzen diese Mechanismen vor allem in Situationen, in denen geringe Abstände, spielfreie Steuerung und ein begrenzter Drehwinkel erforderlich sind. Bei richtiger Auslegung können Seilantriebe sowohl spielfrei als auch rückwärtsantreibbar gestaltet werden. Aber sie sind hier kein Wunderelixier. Sie haben Grenzen, und die Windengleichung ist von grundlegender Bedeutung für das Verständnis Ihrer größten Herausforderung bei ihrem Design: der Reibung.

Wäre es nicht praktisch, wenn wir alles aus der Ferne steuern könnten, indem wir mechanische Steuerkabel aus der Ferne verwenden? Ich bin vollkommen einverstanden! Aber es lohnt sich zu fragen: Was hindert uns daran, unsere Kabel und Leitungen in eine beliebige Anordnung hinein- und herauszuflechten? Die Antwort liegt in der Reibung. Reibung ist hier unser Feind und begrenzt die physische Biegung des Rohrs, bevor es zu schwierig wird, es zu bewegen. Aber der konkrete Bezug zu unserem Problem ist eher unintuitiv! Um ein umfassendes Verständnis darüber zu erlangen, wie sich Reibung auf das Kabel auswirkt, beginnen wir mit der Bearbeitung eines Beispielproblems.

Lassen wir die Leitung für eine Minute weg und beginnen wir mit einem Rohmodell aus nur zwei Zutaten: einem Kabel und einem Zylinder. Im Bild unten haben wir das Kabel teilweise um einen festen Zylinder gewickelt und beide Enden des Kabels unter Spannung gesetzt, sodass das Kabel am Zylinder anliegt. Bedenken Sie, dass sich der Zylinder nicht drehen kann. Wenn wir also das Kabel bewegen wollten, müssten wir hier mit der Reibung kämpfen und am Zylinder reiben.

Beginnen wir nun damit, beide Seiten mit zwei Spannungswerten unter Spannung zu setzen: TLoad und Thold. Wir werden die Spannung bei THalt konstant halten, aber den Wert von TLoad langsam erhöhen. Wenn unser Zylinder tatsächlich eine reibungsfreie Riemenscheibe wäre, wäre es unmöglich, eine Spannungsungleichheit zu erzeugen; Die Spannung auf der einen Seite wäre immer gleich der Spannung auf der anderen Seite. Da unser Zylinder jedoch fest ist, ist es tatsächlich möglich, die Spannung auf einer Seite zu erhöhen und gleichzeitig die Spannung auf der anderen Seite konstant zu halten, ohne dass das Seil dabei durchrutscht. Dies geschieht, weil die Haftreibung am Zylinder dem Spannungsanstieg bis zu einer bestimmten Grenze entgegenwirkt.

Wenn wir einen Querschnitt eines Seils vergrößern, um die auf ein kleines Stück wirkenden Kräfte zu untersuchen, können wir sehen, wie die Haftreibung gegen TLoad wirkt, wodurch die Spannungsungleichheit ausgeglichen wird, sodass das Kabel nicht verrutscht.

Hier ist also die große Frage: Um wie viel darf ich bei einem festen Wert von THold auf einer Seite des Zylinders die TLoad auf der anderen Seite erhöhen, bevor das Kabel durchrutscht und anfängt, am Zylinder zu reiben? (Vorsicht! Die vollständige Ableitung erfordert einige Kenntnisse in Analysis und Differentialgleichungen, aber für Neugierige werfen Sie einen Blick auf dieses PDF.)

TL;DR: Die Antwort ist die Capstan-Gleichung. Sie sagt uns, dass bei einer gegebenen Haltespannung auf einer Seite die maximale Spannung, die wir auf die andere Seite des Kabels ausüben können, ohne zu verrutschen, gegeben ist durch:

Wenn wir beide Ts auf eine Seite verschieben, erhalten wir etwas Interessanteres: ein Verhältnis zwischen zwei Spannungen.

Werfen wir einen Blick auf die Eingaben dieser Gleichung. µs ist der Haftreibungskoeffizient des Kabels, eine Materialeigenschaft, die wir in einer Tabelle oder einem Materialdatenblatt nachschlagen können. θ ist der Gesamtbiegewinkel zwischen Ihren beiden Spannungsvektoren, TLoad. und THalt, gemessen im Bogenmaß. TL und TH sind die Größen der jeweiligen Spannungswerte.

Außerdem eine wichtige Randbemerkung: Der Biegewinkel θ ist kumulativ. Mit anderen Worten: Wenn Sie der Mischung einen weiteren festen Zylinder hinzufügen, müssen Sie auch dort den gesamten Biegewinkel addieren. Das gilt auch dann, wenn sich der Winkel wie unten gezeigt in die entgegengesetzte Richtung biegt:

Der Gesamtwinkel, den wir in die Windengleichung einsetzen würden, ist also durch θ1+θ2 gegeben.

Entscheidend hierbei ist, dass nur zwei Eigenschaften, Biegewinkel und Haftreibungskoeffizient, bestimmen, wie viel zusätzliche Spannung wir auf einer Seite hinzufügen können, bevor der gesamte Aufbau rutscht. Was können wir also aus dieser Gleichung lernen?

Die erste wichtige Erkenntnis ist, dass die Zylindergröße keinen Einfluss auf das Ausmaß der Reibungsinkongruenz hat. Mit anderen Worten: Ein Zylinder mit kleinem Radius erzeugt den gleichen Ergebniswert wie ein Zylinder mit großem Radius, vorausgesetzt, dass die gesamten Biegewinkel gleich sind. Das ist nicht intuitiv! Ich sollte jedoch erwähnen: Die obige Gleichung geht davon aus, dass das Kabel unendlich dünn ist, was eine gute Näherung ist, es sei denn, unser Biegeradius ist wirklich klein, etwa ein paar Vielfache des Kabeldurchmessers. In diesem Fall spielt die zum Biegen des Kabels erforderliche Kraft eine Rolle. Aber in den meisten Situationen können wir es ignorieren.

Eine weitere wichtige Erkenntnis ist, dass die Beziehung exponentiell mit dem Biegewinkel zusammenhängt! Während also eine Umwicklung um den Zylinder möglicherweise nicht viel Reibung verursacht, wird durch das Hinzufügen einer zweiten Umwicklung das maximale Spannungsverhältnis zwischen den beiden Kabelenden mehr als verdoppelt. Beispielsweise erzeugen bei einem Kabel mit µs = 0,3 zwei Wicklungen 6,6-mal mehr Reibung als eine Wicklung. Drei Windungen bedeuten 43,4-mal mehr Reibung als eine Windung [Mathe-Link]. Aber wenn unser µs = 0,2, dann erzeugen drei Windungen nur 12,3-mal so viel Reibung wie eine Windung. Kurz gesagt, exponentielle Beziehungen sind nicht intuitiv und summieren sich schnell. Die Wahl eines Kabels mit einem möglichst kleinen Reibungskoeffizienten (wie dieses mit Nylon beschichtete Kabel) ist der Schlüssel, um die übermäßige Reibung gering zu halten.

Für sich genommen wirkt dieses Beispiel ziemlich dumm, also binden wir es zurück zu unserem ursprünglichen Problem mit unserem kabelbetriebenen Chomper, der Leitungen verwendet. Um die Erkenntnisse aus dem Problem auf unseren Aufbau zu übertragen, ersetzen wir einfach die Zylinder oben durch eine Leitung, und – voilà – die exakt gleiche Gleichung gilt auch für diesen Aufbau! Da sowohl der Zylinder als auch die Leitung fest sind, gilt die Windengleichung auch in dieser Situation. Hier ergibt sich der kumulative Biegewinkel aus der Gesamtbiegung des unter Spannung stehenden Kabels.

Beachten Sie, dass ich die Winkel θ1 und θ2 nur auf einer Leitung markiert habe, nicht auf beiden. Das ist Absicht. Bei einem auf den Joystick ausgeübten Drehmoment im Uhrzeigersinn wird nur ein Kabel gespannt; der andere wird schlaff. Mit anderen Worten, nur die Biegungen des unter Spannung stehenden Kabels tragen zu den Reibungskosten bei. Wenn wir auf den Griff ein Drehmoment in die andere Richtung ausüben würden, würden die Reibungskosten durch die Biegungen in der anderen Leitung entstehen. In der Praxis würden wir wahrscheinlich beide Leitungen zusammen als ein einziges Bündel verlegen, aber es ist wichtig, genau zu wissen, wer für die Reibung verantwortlich ist, abhängig von der Richtung des Eingangs.

Auf unser Chomper-Setup angewendet, sagt uns die Capstan-Gleichung, wie viel stärker wir an einer Seite des Kabels ziehen müssen, bevor wir die andere Seite des Kabels in Bewegung bringen können. Wenn wir den Haftreibungskoeffizienten unseres Kabels kennen und den maximalen Biegewinkel unseres Aufbaus abschätzen können, können wir den maximalen Spannungswert abschätzen, dem unser Aufbau jemals ausgesetzt sein wird, was uns wiederum dabei hilft, einen Motor mit dem entsprechenden Drehmoment zu spezifizieren .

Aber es gibt noch eine weitere, noch einfachere Schlussfolgerung aus dieser Gleichung, die wir als allgemeine Faustregel verwenden können. Wenn es darum geht, Ihre eigenen kabelgetriebenen Mechanismen mit Kabelkanälen zu entwerfen, möchten wir alle unnötigen Biegungen an anderen Stellen im Kabel entfernen. Mit anderen Worten: Leitungen sind keine Allheillösung für die Weiterleitung einer Zugkraft irgendwo anders in unserem System. Jede Biegung, die wir ihnen hinzufügen, verursacht zusätzliche Reibungskosten, und diese zusätzliche Reibung kann mit der Windengleichung berechnet werden.

Nachdem wir nun wissen, wie Reibung und Biegewinkel zusammenhängen, wie könnte ich mein Design anpassen, um einen Teil der unnötigen Reibung zu reduzieren, mit der die Motoren kämpfen müssen? (Ich gestehe, dass ich die Capstan-Gleichung nicht kannte, als ich dieses Setup erstellte.)

Wenn Ihr System Kabel durch eine Vielzahl von Biegungen verlegen muss, sollten Sie die Einführung von Riemenscheiben in Betracht ziehen, die einige dieser Biegungen für Sie erledigen. Da Riemenscheiben frei rollen, erzeugen sie keine zusätzliche Reibung und tragen daher nicht zum kumulativen Biegewinkel in der Windengleichung bei.

Während die Capstan-Gleichung eine große Enttäuschung darstellt, da sie uns daran hindert, unsere Leitung endlos durch schwer zugängliche Abschnitte unseres Designs zu schlängeln, gibt es einige Fälle, in denen diese Reibung äußerst nützlich ist. Da die Spannung auf einer Seite exponentiell mit der Spannung auf der gegenüberliegenden Seite zusammenhängt, können wir bei nur etwa vier Windungen tatsächlich den Spillzylinder verwenden, um das Kabel direkt anzutreiben, ohne befürchten zu müssen, dass der Draht abrutscht.

Diese wunderbare Eigenschaft macht einem Mechanismus Platz, der Capstan-Antrieb genannt wird, ein Kabel, das um eine kleine Welle gewickelt ist und als Aktuator verwendet werden kann. Hier haben wir die Capstan-Gleichung angewendet. Wir verlassen uns auf diese exponentielle Beziehung, damit unser Kabel nicht verrutscht, während der Zylinder gedreht wird. Diese Mechanismen sind einfach zu cool, um sie zu beschönigen, deshalb werden wir sie in einem zukünftigen Beitrag noch einmal besprechen. Bis dahin hoffen wir, dass Ihnen diese kurze Einführung dabei hilft, etwas sorgfältiger über die Kabelführung in Ihrem nächsten Push-Pull-Kabelrohrprojekt nachzudenken, ob Tentakel mit oder ohne.